Ответ:

  1. Вместо того чтобы готовиться к экзамену, он бил баклуши. Грамматическая основа: он бил.
  2. Сотрудник разбирается и чувствует себя. Подлежащее — сотрудник, однородные сказуемые — разбирается, чувствует.
  3. Математика была моей ахиллесовой пятой. Подлежащее — математика, сказуемое — была моей ахиллесовой пятой.
  4. Покупать автомобиль — это кот. Подлежащее — покупать автомобиль, сказуемое — это настоящий кот в мешке.
  5. Хватит водить меня за нос, скажите правду. Грамматические основы: хватит водить и скажите (односоставная определённо-личная часть).