Ответ:
1) Мы узнали о том, что произошло на самом деле, в продолжение истории.
Здесь «в продолжение» — производный предлог со значением «во время», поэтому пишется раздельно и оканчивается на -е.
2) Отношение к поступку моего друга изменилось вследствие рассказов очевидцев.
«Вследствие» — производный предлог со значением причины, пишется слитно и оканчивается на -е.
3) Все видели, как он смело бросился наперерез снежной лавине.
«Наперерез» здесь употреблено как предлог и пишется слитно.
В предложении 4 «впоследствии» — наречие со значением «позже», а не предлог, поэтому предложение не выписываем.
Ответ: предложения 1, 2, 3.
