Ответ:

1) Мы узнали о том, что произошло на самом деле, в продолжение истории.

Здесь «в продолжение» — производный предлог со значением «во время», поэтому пишется раздельно и оканчивается на -е.

2) Отношение к поступку моего друга изменилось вследствие рассказов очевидцев.

«Вследствие» — производный предлог со значением причины, пишется слитно и оканчивается на -е.

3) Все видели, как он смело бросился наперерез снежной лавине.

«Наперерез» здесь употреблено как предлог и пишется слитно.

В предложении 4 «впоследствии» — наречие со значением «позже», а не предлог, поэтому предложение не выписываем.

Ответ: предложения 1, 2, 3.