3. Выполните действия: 1) $2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3) $\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\frac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}$; 5) $(a^2)^{1/3}$; 6) $\frac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните действия: 1) $2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: $2^{1/2+1/4+1/8}=2^{7/8}$.
Представим $4=2^2$: $\left(\frac{2^{2/3}}{2^{5/3}}\right)^3=(2^{-1})^3=2^{-3}=\frac18$.
В числителе под внешним корнем: $\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3$, а $\sqrt[4]{27}=3^{3/4}$. Поэтому $\sqrt[4]{3/3^{3/4}}=\sqrt[4]{3^{1/4}}=3^{1/16}$.
Складываем показатели в числителе и знаменателе, затем вычитаем: $a^{2/3-5/4-3/2+1/3}=a^{-7/4}=\frac{1}{a^{7/4}}$, при $a>0$.
Степень степени: $(a^2)^{1/3}=a^{2/3}$ (для действительных значений при таком рациональном показателе предполагается $a\geq0$).
Преобразуем основания: $\frac{3^{1/3}7^{1/3}}{9^{1/3}}=\left(\frac{21}{9}\right)^{1/3}=\sqrt[3]{\frac73}$.

3. Выполните действия: 1) \(2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}\); 2) \(\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3\); 3) \(\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}\); 4) \(\frac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}\); 5) \((a^2)^{1/3}\); 6) \(\frac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}\).