3. Выполните действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3) $\sqrt{\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\frac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}$; 5) $\left((a^2)^{1/3}\right)^{3/5}$; 6) $\frac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3)…$ Фото задания

3. Выполните действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\frac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3) $\sqrt{\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{9}}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\frac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}$; 5) $\left((a^2)^{1/3}\right)^{3/5}$; 6) $\frac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}$.

Accepted Answer

Представим число 2 как $2^1$ и сложим показатели степеней с одинаковым основанием: $2^{1+1/2+1/4+1/8}=2^{15/8}$.
Так как $4^{5/6}=2^{5/3}$, получаем $\left(2^{2/3-5/3}\right)^3=(2^{-1})^3=\frac18$.
Запишем корни как степени числа 3: $\sqrt{\frac{3^{1/2}3^{2/3}}{3^{3/4}}}=3^{(1/2+2/3-3/4)/2}=3^{5/24}$.
При $a\ne0$ складываем показатели в числителе и знаменателе, затем вычитаем: $a^{2/3-5/4-3/2+1/3}=a^{-7/4}=\frac1{a^{7/4}}$.
Последовательно умножаем показатели: $((a^2)^{1/3})^{3/5}=(a^2)^{1/5}=|a|^{2/5}$.
Объединим корни одинаковой степени: $\sqrt[3]{\frac{3\cdot7}{9}}=\sqrt[3]{\frac73}$.

Ответ: 1) $2^{15/8}$; 2) $\frac18$; 3) $3^{5/24}$; 4) $a^{-7/4}$; 5) $|a|^{2/5}$; 6) $\sqrt[3]{\frac73}$.