3. Выполните действия: а) $\frac{4x-y}{20xy^2}-\frac{3y+x}{15x^2y}$; б) $\frac{8}{x-2}+x^2+2x+4$; в) $\frac{x-4y}{6x\cdot(x-y)}-\frac{x+4y}{6x\cdot(x-y)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните действия: а) $\frac{4x-y}{20xy^2}-\frac{3y+x}{15x^2y}$; б) $\frac{8}{x-2}+x^2+2x+4$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём дроби к общему знаменателю $60x^2y^2$:
\[\frac{4x-y}{20xy^2}-\frac{3y+x}{15x^2y}=\frac{3x(4x-y)-4y(3y+x)}{60x^2y^2}.\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\[\frac{12x^2-3xy-12y^2-4xy}{60x^2y^2}=\frac{12x^2-7xy-12y^2}{60x^2y^2}.\]
Числитель раскладывается на множители: $12x^2-7xy-12y^2=(3x-4y)(4x+3y)$.
\[\text{а) }\frac{(3x-4y)(4x+3y)}{60x^2y^2},\qquad x\ne0,\ y\ne0.\]
Используем формулу разности кубов: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
\[\frac{8}{x-2}+x^2+2x+4=\frac{8+(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=\frac{8+x^3-8}{x-2}=\frac{x^3}{x-2}.\]
Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x\ne2$.
\[\text{б) }\frac{x^3}{x-2},\qquad x\ne2.\]
Знаменатели одинаковые, вычтем числители:
\[\frac{x-4y}{6x(x-y)}-\frac{x+4y}{6x(x-y)}=\frac{x-4y-x-4y}{6x(x-y)}=\frac{-8y}{6x(x-y)}=-\frac{4y}{3x(x-y)}.\]
Из знаменателя следует, что $x\ne0$ и $x\ne y$.
\[\text{в) }-\frac{4y}{3x(x-y)},\qquad x\ne0,\ x\ne y.\]

3. Выполните действия: а) \(\frac{4x-y}{20xy^2}-\frac{3y+x}{15x^2y}\); б) \(\frac{8}{x-2}+x^2+2x+4\); в) \(\frac{x-4y}{6x\cdot(x-y)}-\frac{x+4y}{6x\cdot(x-y)}\).