3. Выполните сложение или вычитание дробей (2 балла каждое): 1) а) $\dfrac{x+4}{xy-x^2}+\dfrac{y+4}{xy-y^2}$; 2) $\dfrac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\dfrac{3a^2+x^2}{ax-3a^2}$; 3) $2y-\dfrac{2-5y+3y^2}{3y-2}-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполните сложение или вычитание дробей (2 балла каждое): 1) а) $\dfrac{x+4}{xy-x^2}+\dfrac{y+4}{xy-y^2}$; 2)…$ Фото задания

3. Выполните сложение или вычитание дробей (2 балла каждое): 1) а) $\dfrac{x+4}{xy-x^2}+\dfrac{y+4}{xy-y^2}$; 2) $\dfrac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\dfrac{3a^2+x^2}{ax-3a^2}$; 3) $2y-\dfrac{2-5y+3y^2}{3y-2}-1$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю:
$xy-x^2=x(y-x),\quad xy-y^2=y(x-y)=-y(y-x).$
\[\frac{x+4}{x(y-x)}-\frac{y+4}{y(y-x)}=\frac{y(x+4)-x(y+4)}{xy(y-x)}=\frac{4(y-x)}{xy(y-x)}=\frac{4}{xy}.\]
Разложим знаменатели и приведём дроби к общему знаменателю:
\[\frac{3a(x-9a)}{x(x-3a)}-\frac{x^2+3a^2}{a(x-3a)}=\frac{3a^2(x-9a)-x(x^2+3a^2)}{ax(x-3a)}.\]
Раскроем скобки в числителе и сократим подобные слагаемые:
\[\frac{3a^2x-27a^3-x^3-3a^2x}{ax(x-3a)}=-\frac{x^3+27a^3}{ax(x-3a)}.\]
Используем формулу суммы кубов:
\[-\frac{(x+3a)(x^2-3ax+9a^2)}{ax(x-3a)}.\]
Разложим числитель дроби на множители:
$2-5y+3y^2=(3y-2)(y-1)$, поэтому при $y\ne\frac23$ дробь равна $y-1$.
\[2y-(y-1)-1=y.\]

Ответ: 1) $\frac{4}{xy}$; 2) $-\frac{(x+3a)(x^2-3ax+9a^2)}{ax(x-3a)}$; 3) $y$.

Области допустимых значений: в пункте 1 — $x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y$; в пункте 2 — $a\ne0,\ x\ne0,\ x\ne3a$; в пункте 3 — $y\ne\frac23$.

3. Выполните сложение или вычитание дробей (2 балла каждое): 1) а) \(\dfrac{x+4}{xy-x^2}+\dfrac{y+4}{xy-y^2}\); 2) \(\dfrac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\dfrac{3a^2+x^2}{ax-3a^2}\); 3) \(2y-\dfrac{2-5y+3y^2}{3y-2}-1\).

Ответ: