3. Выполните сложение (вычитание) дробей, у которых один из знаменателей кратен другому: a) \( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \) b) \( \frac{5}{17} - \frac{3}{47} \) в) \( \frac{8}{60} + \frac{15}{25} \) г) \( \frac{7}{15} - \frac{5}{6} \) д) \( \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \) е) \( \frac{5}{35} - \frac{1}{19} \) ж) \( \frac{7}{60} - \frac{1}{12} \) з) \( \frac{43}{?} - \frac{7}{?} \)

Решение:

Чтобы сложить или вычесть дроби, у которых один знаменатель кратен другому, нужно привести дробь с меньшим знаменателем к знаменателю большей дроби. Для этого числитель и знаменатель этой дроби умножаем на соответствующее число.

1. \( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \)

Знаменатель 16 кратен 4. Приведём дробь \( \frac{1}{4} \) к знаменателю 16:

\( \frac{1 × 4}{4 × 4} = \frac{4}{16} \)

Теперь сложим дроби:

\( \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+1}{16} = \frac{5}{16} \)

2. \( \frac{5}{17} - \frac{3}{47} \)

Здесь знаменатели 17 и 47 простые числа, не кратные друг другу. Приведём к общему знаменателю 17 \(×\) 47 = 799.

\( \frac{5 × 47}{17 × 47} - \frac{3 × 17}{47 × 17} = \frac{235}{799} - \frac{51}{799} = \frac{235 - 51}{799} = \frac{184}{799} \)

3. \( \frac{8}{60} + \frac{15}{25} \)

Наименьший общий знаменатель для 60 и 25 — 300.

\( \frac{8 × 5}{60 × 5} + \frac{15 × 12}{25 × 12} = \frac{40}{300} + \frac{180}{300} = \frac{40 + 180}{300} = \frac{220}{300} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} \)

4. \( \frac{7}{15} - \frac{5}{6} \)

Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 — 30.

\( \frac{7 × 2}{15 × 2} - \frac{5 × 5}{6 × 5} = \frac{14}{30} - \frac{25}{30} = \frac{14 - 25}{30} = -\frac{11}{30} \)

5. \( \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \)

Знаменатель 24 кратен 3. Приведём дробь \( \frac{1}{3} \) к знаменателю 24:

\( \frac{1 × 8}{3 × 8} = \frac{8}{24} \)

Теперь сложим дроби:

\( \frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{1+8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \)

6. \( \frac{5}{35} - \frac{1}{19} \)

Знаменатель 35 = 5 \(×\) 7. Знаменатель 19 — простое число. Наименьший общий знаменатель — 35 \(×\) 19 = 665.

\( \frac{5 × 19}{35 × 19} - \frac{1 × 35}{19 × 35} = \frac{95}{665} - \frac{35}{665} = \frac{95 - 35}{665} = \frac{60}{665} = \frac{12}{133} \)

7. \( \frac{7}{60} - \frac{1}{12} \)

Знаменатель 60 кратен 12. Приведём дробь \( \frac{1}{12} \) к знаменателю 60:

\( \frac{1 × 5}{12 × 5} = \frac{5}{60} \)

Теперь вычтем дроби:

\( \frac{7}{60} - \frac{5}{60} = \frac{7-5}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \)

8. \( \frac{43}{?} - \frac{7}{?} \)

В данном пункте отсутствует информация о знаменателях дробей.

Ответ: а) \( \frac{5}{16} \); б) \( \frac{184}{799} \); в) \( \frac{11}{15} \); г) \(-\frac{11}{30} \); д) \( \frac{3}{8} \); е) \( \frac{12}{133} \); ж) \( \frac{1}{30} \); з) Данные для решения отсутствуют.