3. Выполните задания: 1) Постройте произвольные треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. Измерьте градусные меры углов и длины сторон этих треугольников. 2) Постройте треугольник ABC, угол B которого равен 60°, а стороны AB и BC равны соответственно 4 и 2 см. 3) Постройте треугольник XYZ, XY = 6 см, угол XYZ равен 30°, угол YXZ равен 45°. 4) Найдите стороны треугольника, если известно, что одна сторона в 2 раза больше второй стороны, но в 3 раза меньше третьей стороны, а периметр треугольника равен 126 см.

1) Так как треугольники произвольные, приведены три возможных построения. Углы в каждом случае в сумме дают 180°.

Остроугольный: стороны 5 см, 6 см и 7 см; углы приблизительно 44.4°, 57.1° и 78.5°. Все углы меньше 90°.

Прямоугольный: стороны 3 см, 4 см и 5 см; углы приблизительно 36.9°, 53.1° и 90°. Это прямоугольный треугольник, поскольку квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других: 5² = 3² + 4².

Тупоугольный: стороны 3 см, 5 см и 7 см; углы приблизительно 20.3°, 31.8° и 127.9°. Наибольший угол тупой, так как 7² > 3² + 5².

2) Построение: провести отрезок AB длиной 4 см. В точке B построить угол 60° так, чтобы одна его сторона шла по BA. На второй стороне угла отложить BC = 2 см и соединить A и C.

По теореме косинусов: AC² = 4² + 2² − 2 · 4 · 2 · cos 60° = 12, поэтому AC = 2√3 см.

3) Построение: отложить XY = 6 см. В точке Y построить луч, образующий с YX угол 30°, а в точке X — луч, образующий с XY угол 45°. Точка пересечения лучей — Z. Тогда ∠XZY = 180° − 30° − 45° = 105°.

По теореме синусов: XZ = 6 · sin 30° / sin 105° ≈ 3.11 см; YZ = 6 · sin 45° / sin 105° ≈ 4.39 см.

4) Пусть вторая сторона равна x см. Тогда сторона, которая в 2 раза больше неё, равна 2x см, а третья — 6x см, поскольку первая сторона в 3 раза меньше третьей.

Составим уравнение по периметру: x + 2x + 6x = 126; 9x = 126; x = 14.

Значит, стороны равны 14 см, 28 см и 84 см. Но сумма двух меньших сторон 14 + 28 = 42 см меньше 84 см, что нарушает неравенство треугольника. Следовательно, такого треугольника не существует.

Ответ: 4) условиям соответствуют длины 14 см, 28 см и 84 см, но треугольник с такими сторонами построить нельзя.