3. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Угол \(B=30^\circ\), а сторона \(AM=4\) см лежит напротив этого угла.

Используем определение синуса:

\(\sin 30^\circ=\dfrac{AM}{AB}\).

Подставим значения:

\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{AB}\), поэтому \(AB=8\) см.

Так как \(BM\perp AD\), угол \(A\) треугольника ABM равен:

\(\angle BAM=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Точка M лежит на стороне AD, значит \(\angle BAD=60^\circ\). В ромбе \(AB=AD=8\) см.

В треугольнике ABD две стороны равны 8 см, а угол между ними равен \(60^\circ\). По теореме косинусов:

\(BD^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cdot\cos60^\circ\);

\(BD^2=64+64-128\cdot\dfrac{1}{2}=64\);

\(BD=8\) см.

Ответ: 8 см.