Контрольные задания > №3. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание ... Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
Вопрос:

№3. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание ... Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

  • К сожалению, длина основания не указана в условии задачи. Предположим, что основание равно 2*x см.
  • Пусть основание равнобедренного треугольника равно $$2b$$. Высота, проведенная к основанию, равна $$h=9$$ см.
  • Половина основания равна $$b$$.
  • По теореме Пифагора, боковая сторона $$c = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + b^2} = \sqrt{81 + b^2}$$.
  • Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 2b \times 9 = 9b$$.
  • Радиус вписанной окружности $$r = \frac{S}{p}$$, где $$p$$ - полупериметр.
  • $$p = \frac{\text{основание} + 2 \times \text{боковая сторона}}{2} = \frac{2b + 2\sqrt{81 + b^2}}{2} = b + \sqrt{81 + b^2}$$.
  • $$r = \frac{9b}{b + \sqrt{81 + b^2}}$$.
  • Радиус описанной окружности $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника.
  • $$R = \frac{(2b) \times (\sqrt{81 + b^2}) \times (\sqrt{81 + b^2})}{4 \times 9b} = \frac{2b \times (81 + b^2)}{36b} = \frac{81 + b^2}{18}$$.
  • Пример: Если предположить, что в задании было указано основание, например, 12 см. Тогда $$2b = 12$$, $$b = 6$$.
  • $$c = \sqrt{81 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$.
  • $$S = 9 \times 6 = 54$$.
  • $$p = 6 + 3\sqrt{13}$$.
  • $$r = \frac{54}{6 + 3\sqrt{13}} = \frac{18}{2 + \sqrt{13}} = \frac{18(2 - \sqrt{13})}{4 - 13} = \frac{18(2 - \sqrt{13})}{-9} = -2(2 - \sqrt{13}) = 2\sqrt{13} - 4 \approx 2 \times 3.606 - 4 \approx 7.212 - 4 = 3.212$$ см.
  • $$R = \frac{81 + 6^2}{18} = \frac{81 + 36}{18} = \frac{117}{18} = \frac{13}{2} = 6.5$$ см.
  • Без указания длины основания, решение является общим.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие