3. y = x^2 - 5x + 9 y = 4x - 9

Решение:

Найдем точки пересечения функций:

\( x^2 - 5x + 9 = 4x - 9 \)

\( x^2 - 5x + 9 - 4x + 9 = 0 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6 \)

Проверим, какая функция выше на интервале \( [3, 6] \). Возьмём \( x = 4 \):

\( y_1 = 4^2 - 5(4) + 9 = 16 - 20 + 9 = 5 \)

\( y_2 = 4(4) - 9 = 16 - 9 = 7 \)

Функция \( y = 4x - 9 \) находится выше.

Площадь фигуры:

\( S = \int_{3}^{6} ((4x - 9) - (x^2 - 5x + 9)) dx \)

\( S = \int_{3}^{6} (-x^2 + 9x - 18) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{2}x^2 - 18x \right]_{3}^{6} \)

\( S = \left( -\frac{1}{3}(6)^3 + \frac{9}{2}(6)^2 - 18(6) \right) - \left( -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{9}{2}(3)^2 - 18(3) \right) \)

\( S = \left( -\frac{216}{3} + \frac{9}{2}(36) - 108 \right) - \left( -\frac{27}{3} + \frac{9}{2}(9) - 54 \right) \)

\( S = \left( -72 + 162 - 108 \right) - \left( -9 + \frac{81}{2} - 54 \right) \)

\( S = \left( -180 + 162 \right) - \left( -63 + \frac{81}{2} \right) \)

\( S = -18 - \left( -\frac{126}{2} + \frac{81}{2} \right) \)

\( S = -18 - \left( -\frac{45}{2} \right) = -18 + \frac{45}{2} = -\frac{36}{2} + \frac{45}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: 4.5.