№3. y=x²-4 1) Построй график функции 2) Найдите область определения 3) Найдите область значений E 4) Найдите нули функции (y=0, x=) 5) Определите, возрастает и убывает функция на промежутке [0;3] -

1) Построение графика функции y = x² - 4

1. Вершина параболы:

• Для функции вида y = ax² + bx + c, вершина находится по формуле x₀ = -b / 2a. В нашем случае a=1, b=0, c=-4.
• x₀ = -0 / (2 * 1) = 0.
• y₀ = (0)² - 4 = -4.
• Вершина параболы находится в точке (0; -4).

2. Точки пересечения с осями:

• С осью Oy (x=0): y = (0)² - 4 = -4. Точка пересечения: (0; -4) (это также вершина).
• С осью Ox (y=0): 0 = x² - 4 → x² = 4 → x = ±2. Точки пересечения: (-2; 0) и (2; 0).

3. Дополнительные точки:

• При x = 1, y = (1)² - 4 = 1 - 4 = -3. Точка: (1; -3).
• При x = -1, y = (-1)² - 4 = 1 - 4 = -3. Точка: (-1; -3).
• При x = 3, y = (3)² - 4 = 9 - 4 = 5. Точка: (3; 5).
• При x = -3, y = (-3)² - 4 = 9 - 4 = 5. Точка: (-3; 5).

2) Область определения (D(f))

Квадратичная функция определена для всех действительных значений x. Область определения — вся числовая прямая.

Ответ: D(f) = (-∞; +∞)

3) Область значений (E(f))

Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положителен, a=1), а вершина находится в точке (0; -4), минимальное значение функции равно -4. Область значений — все значения y, начиная от -4 и до плюс бесконечности.

Ответ: E(f) = [-4; +∞)

4) Нули функции

Нули функции — это значения x, при которых y = 0. Мы уже нашли их при определении точек пересечения с осью Ox.

• 0 = x² - 4
• x² = 4
• x = ±2

Ответ: x = -2; x = 2

5) Возрастание и убывание функции на промежутке [0;3]

Парабола y = x² - 4 симметрична относительно оси Oy. Вершина находится в точке x = 0. Функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0.

• На промежутке [0; 3]:
• Значения x увеличиваются от 0 до 3.
• Поведение функции: функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутке [0; 3].