3. Задача: Докажите расчетом, может ли существовать планета, состоящая целиком из золота (плотность золота ρ = 19300 кг/м³), имеющая радиус 1000 км. Оцените ускорение свободного падения на ее поверхности. Подсказка: выразите массу планеты через плотность и объем шара (M = ρV = ρ·4/3·πR³), затем подставьте в формулу g = GM/R².

Переведём радиус в метры: \(R=1000\) км \(=1{,}0\cdot10^6\) м.

Масса планеты в модели однородного шара:

\(M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=19300\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot(1{,}0\cdot10^6)^3\approx8{,}08\cdot10^{22}\) кг.

Подставим массу в формулу ускорения свободного падения, используя \(G=6{,}674\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг²:

\(g=\frac{GM}{R^2}\approx\frac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot8{,}08\cdot10^{22}}{(1{,}0\cdot10^6)^2}\approx5{,}39\) м/с².

Это расчётная оценка при допущении, что плотность по всей планете равна плотности золота. Она показывает, что такая планета могла бы иметь конечное, физически допустимое поверхностное ускорение; однако сам расчёт не доказывает, что планета целиком из золота могла бы сформироваться и сохранять такую структуру в природе.

Ответ: по заданной модели ускорение свободного падения на поверхности составляет примерно 5,4 м/с². Расчёт допускает такую планету как идеализированную модель, но сам по себе не подтверждает её естественное существование.