3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что LAOВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: На окружности с центром О отмечены точки А и В. Угол $$\angle AOB$$ — прямой, то есть равен $$90^\circ$$.
2. Шаг 2: Отрезок BC — диаметр окружности.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник $$\triangle AOB$$. OA и OB — радиусы окружности, поэтому $$\triangle AOB$$ — равнобедренный.
4. Шаг 4: Поскольку $$\angle AOB = 90^\circ$$, $$\triangle AOB$$ является прямоугольным равнобедренным треугольником.
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник $$\triangle ABC$$. Угол $$\angle BAC$$ вписан в окружность и опирается на диаметр BC.
6. Шаг 6: По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, равен $$90^\circ$$. Следовательно, $$\angle BAC = 90^\circ$$.
7. Шаг 7: Таким образом, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный треугольник.
8. Шаг 8: Теперь рассмотрим треугольник $$\triangle AOC$$. OA и OC — радиусы окружности, поэтому $$\triangle AOC$$ — равнобедренный.
9. Шаг 9: Угол $$\angle AOC$$ является смежным с углом $$\angle AOB$$. Так как $$\angle AOB = 90^\circ$$, то $$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$.
10. Шаг 10: Следовательно, $$\triangle AOC$$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.
11. Шаг 11: Так как $$\triangle AOC$$ — равнобедренный с OA = OC, то углы при основании равны: $$\angle OAC = \angle OCA$$. Сумма углов в $$\triangle AOC$$ равна $$180^\circ$$, поэтому $$2 \times AC + 90^= = 180^=$$, откуда $$\angle OAC = CA = 45^=$$.
12. Шаг 12: Теперь посмотрим на хорды AB и AC. В $$\triangle AOB$$, OA = OB (радиусы), $$\angle AOB = 90^\circ$$. По теореме Пифагора: $$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 2 \times OA^2$$.
13. Шаг 13: В $$\triangle AOC$$, OA = OC (радиусы), $$\angle AOC = 90^\circ$$. По теореме Пифагора: $$AC^2 = OA^2 + OC^2 = 2 \times OA^2$$.
14. Шаг 14: Из Шагов 12 и 13 следует, что $$AB^2 = AC^2$$. Так как длины отрезков положительны, то $$AB = AC$$.

Доказано.