3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80° Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

Решение:

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( \angle A = 40^{\circ} \)

\( \angle BCE \) — смежный с \( \angle ACB \)

\( \angle BCE = 80^{\circ} \)

Доказать:

Биссектриса \( \angle BCE \) параллельна \( AB \).

Доказательство:

1. Так как \( \angle BCE \) и \( \angle ACB \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).
2. \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BCE = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
3. Сумма углов \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \).
4. \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle ACB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 100^{\circ} = 40^{\circ} \).
5. Так как \( \angle A = \angle ABC = 40^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \).
6. Пусть \( CK \) — биссектриса \( \angle BCE \).
7. \( \angle BCK = \frac{1}{2} \angle BCE = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
8. Рассмотрим прямую \( CK \) и секущую \( BC \). \( \angle BCK \) и \( \angle ABC \) — накрест лежащие углы при прямых \( CK \) и \( AB \) и секущей \( BC \).
9. Так как \( \angle BCK = 40^{\circ} \) и \( \angle ABC = 40^{\circ} \), то \( \angle BCK = \angle ABC \).
10. Следовательно, по признаку параллельности прямых, \( CK \parallel AB \).

Что и требовалось доказать.