3. Задача на тему «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Доказательство:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). Следовательно, \( AB = BC \).
2. Пусть \( M, N, P \) — середины сторон \( AB, BC, AC \) соответственно.
3. Соединим середины сторон \( M, N, P \) отрезками. Получим треугольник \( MNP \).
4. Рассмотрим \( \triangle MNP \). Отрезок \( MN \) соединяет середины сторон \( AB \) и \( BC \) в \( \triangle ABC \). По теореме о средней линии треугольника, \( MN \) параллельна \( AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
5. Аналогично, отрезок \( NP \) соединяет середины сторон \( BC \) и \( AC \) в \( \triangle ABC \). Следовательно, \( NP \) параллельна \( AB \) и \( NP = \frac{1}{2} AB \).
6. Отрезок \( MP \) соединяет середины сторон \( AB \) и \( AC \) в \( \triangle ABC \). Следовательно, \( MP \) параллельна \( BC \) и \( MP = \frac{1}{2} BC \).
7. Так как \( AB = BC \) (по условию, \( \triangle ABC \) — равнобедренный), то \( NP = MP \).
8. Из \( MN \text{ || } AC \) и \( NP \text{ || } AB \) следует, что четырёхугольник \( AMNP \) — параллелограмм.
9. Из \( MN \text{ || } AC \) и \( MP \text{ || } BC \) следует, что четырёхугольник \( MNPС \) — параллелограмм.
10. Из \( NP \text{ || } AB \) и \( MP \text{ || } BC \) следует, что четырёхугольник \( MNPB \) — параллелограмм.
11. Рассмотрим \( \triangle MNP \). Мы доказали, что \( NP = MP \). Следовательно, \( \triangle MNP \) является равнобедренным треугольником.

Доказано.