3. Задача. Проверить прочность бруса, если [σ]=100 МПа, если d=16 мм

Решение:

Для проверки прочности бруса необходимо сравнить фактическое напряжение в нём с допустимым напряжением. Фактическое напряжение \( \sigma_{факт} \) вычисляется по формуле: \( \sigma_{факт} = \frac{F}{A} \), где \( F \) — сила, действующая на брус, а \( A \) — площадь поперечного сечения бруса.

1. Определим силу:
   Сила \( F = 20 \text{ кН} = 20 \times 10^3 \text{ Н} \).
2. Определим площадь поперечного сечения:
   Брус имеет круглое поперечное сечение с диаметром \( d = 16 \text{ мм} = 16 \times 10^{-3} \text{ м} \).
   Площадь круга вычисляется по формуле: \( A = \frac{\pi d^2}{4} \).
   \( A = \frac{\pi \times (16 \times 10^{-3} \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \times 256 \times 10^{-6} \text{ м}^2}{4} = \pi \times 64 \times 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 201.06 \times 10^{-6} \text{ м}^2 \).
3. Вычислим фактическое напряжение:
   \( \sigma_{факт} = \frac{20 \times 10^3 \text{ Н}}{201.06 \times 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 99.47 \times 10^6 \text{ Па} \approx 99.47 \text{ МПа} \).
4. Сравним фактическое напряжение с допустимым:
   Допустимое напряжение \( [\sigma] = 100 \text{ МПа} \).
   \( \sigma_{факт} \approx 99.47 \text{ МПа} \).
   Так как \( \sigma_{факт} < [\sigma] \) (99.47 МПа < 100 МПа), брус выдержит нагрузку.

Ответ: Прочность бруса проверена. Фактическое напряжение (приблизительно 99.47 МПа) меньше допустимого (100 МПа), поэтому брус выдержит нагрузку.