3. Задача. Проверить прочность бруса, если [τ]=90Н/мм²

Решение:

Задача заключается в проверке прочности бруса под действием заданных изгибающих моментов и касательного напряжения. Для этого необходимо рассчитать максимальное касательное напряжение, возникающее в брусе, и сравнить его с допускаемым значением.

Дано:

• Допускаемое касательное напряжение: \( [\tau] = 90 \text{ Н/мм}^2 \)
• Изгибающий момент \( M_1 = 1,2 \text{ кН·м} \)
• Изгибающий момент \( M_2 = 1,7 \text{ кН·м} \)
• Диаметр бруса \( d = 60 \text{ мм} \)

1. Расчет максимального изгибающего момента:

Максимальный изгибающий момент \( M_{\text{max}} \) в брусе будет равен наибольшему из приложенных моментов, так как они приложены в разных частях бруса и не компенсируют друг друга. В данном случае, \( M_{\text{max}} = M_2 = 1,7 \text{ кН·м} \).

Переведем момент в Н·мм:

\[ M_{\text{max}} = 1,7 \text{ кН·м} = 1,7 \times 10^3 \text{ Н} \times 10^3 \text{ мм} = 1,7 \times 10^6 \text{ Н·мм} \]

2. Расчет полярного момента сопротивления для круглого сечения:

Полярный момент сопротивления \( W_p \) для круглого сечения определяется по формуле:

\[ W_p = \frac{\pi d^3}{16} \]
Подставим значение диаметра \( d = 60 \text{ мм} \):

\[ W_p = \frac{\pi \times (60 \text{ мм})^3}{16} = \frac{\pi \times 216000 \text{ мм}^3}{16} \approx 42411,5 \text{ мм}^3 \]

3. Расчет максимального касательного напряжения:

Максимальное касательное напряжение \( \tau_{\text{max}} \) определяется по формуле:

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_p} \]
Подставим значения:

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{1,7 \times 10^6 \text{ Н·мм}}{42411,5 \text{ мм}^3} \approx 40,08 \text{ Н/мм}^2 \]

4. Проверка прочности:

Сравним рассчитанное максимальное касательное напряжение с допускаемым значением:

\[ \tau_{\text{max}} = 40,08 \text{ Н/мм}^2 \]
\[ [\tau] = 90 \text{ Н/мм}^2 \]

Так как \( \tau_{\text{max}} < [\tau] \) (40,08 Н/мм² < 90 Н/мм²), прочность бруса обеспечена.

Ответ: Прочность бруса обеспечена, так как максимальное касательное напряжение \( \tau_{\text{max}} \approx 40,08 \text{ Н/мм}^2 \) меньше допускаемого \( [\tau] = 90 \text{ Н/мм}^2 \).