3. Замените значок * степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство: 1) a³. * = a10; 2) * · a = a²; 3) a12 : * = a6; 4) * : a5 = a6.

Решение:

Для решения каждого равенства необходимо найти такую степень с основанием \( a \), которая при подстановке вместо значка \( * \) сделает равенство верным. Используем правила действий со степенями: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)), а при делении — вычитаются (\( a^m : a^n = a^{m-n} \)).

1. \( a^3 \cdot a^x = a^{10} \)
   \( 3 + x = 10 \)
   \( x = 10 - 3 \)
   \( x = 7 \)
   Следовательно, \( * = a^7 \).
2. \( a^x \cdot a^1 = a^2 \)
   \( x + 1 = 2 \)
   \( x = 2 - 1 \)
   \( x = 1 \)
   Следовательно, \( * = a^1 \) (или просто \( a \)).
3. \( a^{12} : a^x = a^6 \)
   \( 12 - x = 6 \)
   \( x = 12 - 6 \)
   \( x = 6 \)
   Следовательно, \( * = a^6 \).
4. \( a^x : a^5 = a^6 \)
   \( x - 5 = 6 \)
   \( x = 6 + 5 \)
   \( x = 11 \)
   Следовательно, \( * = a^{11} \).

Ответ: 1) \( a^7 \); 2) \( a^1 \) (или \( a \)); 3) \( a^6 \); 4) \( a^{11} \).