3. Замените звёздочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа 1** и *4* были взаимно простыми; *3* и 6** были взаимно простыми. Укажите все возможные решения.

Обозначим цифру, заменяющую все звёздочки, через d. Тогда получаем числа 1dd, d4d, d3d и 6dd. Переберём цифры от 0 до 9; в записях d4d и d3d цифра d не может быть нулём, поскольку тогда число не будет трёхзначным.

Для первой пары: при d = 1 числа 111 и 141 имеют общий делитель 3; при d = 2 числа 122 и 242 имеют общий делитель 2; при d = 3 числа 133 и 343 имеют общий делитель 7; при d = 4 числа 144 и 444 имеют общий делитель 12; при d = 5 числа 155 и 545 имеют общий делитель 5; при d = 6 числа 166 и 646 имеют общий делитель 2; при d = 7 числа 177 и 747 имеют общий делитель 3; при d = 8 числа 188 и 848 имеют общий делитель 4; при d = 9 числа 199 и 949 имеют общий делитель 1, то есть они взаимно просты. Для d = 0 получаются 100 и 040, их общий делитель равен 20.

Для второй пары при d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соответственно числа имеют общий делитель больше 1: пары равны (131, 611), (232, 622), (333, 633), (434, 644), (535, 655), (636, 666), (737, 677), (838, 688). При d = 9 числа 939 и 699 взаимно просты.

Обе пары удовлетворяют условию только при d = 9.

Ответ: 199 и 949; 939 и 699.