Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Для линейного неравенства при a = 0 выражение сводится к постоянному числу b: если это число удовлетворяет неравенству, решением служат все действительные числа; иначе решений нет. При a ≠ 0 корень линейного выражения равен −b/a; направление знака зависит от знака a.
| Линейные неравенства | Решения при a = 0 |
|---|---|
| ax + b > 0 | Если b > 0: x ∈ ℝ; если b ≤ 0: решений нет. |
| ax + b < 0 | Если b < 0: x ∈ ℝ; если b ≥ 0: решений нет. |
| ax + b ≥ 0 | Если b ≥ 0: x ∈ ℝ; если b < 0: решений нет. |
| ax + b ≤ 0 | Если b ≤ 0: x ∈ ℝ; если b > 0: решений нет. |
При a ≠ 0:
- Если a > 0, то ax + b > 0 при x > −b/a, а ax + b < 0 при x < −b/a.
- Если a < 0, знаки меняются на противоположные: ax + b > 0 при x < −b/a, а ax + b < 0 при x > −b/a.
- Для ≥ и ≤ граничное значение x = −b/a включается в решение.
Для квадратного неравенства рассматриваем y = ax² + bx + c. По рисункам ветви параболы направлены вверх, то есть предполагается a > 0. Обозначим корни через x₁ ≤ x₂.
| Квадратное неравенство (a > 0) | Решение |
|---|---|
| ax² + bx + c < 0, D > 0 | x ∈ (x₁; x₂) |
| ax² + bx + c > 0, D > 0 | x ∈ (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) |
| ax² + bx + c ≥ 0, D > 0 | x ∈ (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) |
| ax² + bx + c ≤ 0, D > 0 | x ∈ [x₁; x₂] |
| ax² + bx + c < 0, D = 0 | Решений нет |
| ax² + bx + c > 0, D = 0 | x ∈ ℝ \ {x₀}, где x₀ — единственный корень |
| ax² + bx + c ≥ 0, D = 0 | x ∈ ℝ |
| ax² + bx + c ≤ 0, D = 0 | x = x₀ |
| ax² + bx + c < 0, D < 0 | Решений нет |
| ax² + bx + c > 0, D < 0 | x ∈ ℝ |
| ax² + bx + c ≥ 0, D < 0 | x ∈ ℝ |
| ax² + bx + c ≤ 0, D < 0 | Решений нет |
При D > 0 корни находятся по формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). Для нестрогих неравенств корни включаются, поскольку при них квадратный трёхчлен равен нулю. При D < 0 трёхчлен положителен для всех x, так как a > 0.
