30.12. Определите промежутки монотонности функции: а) y = x² − 5x + 4; б) y = 5x² + 15x − 1; в) y = −x² + 8x − 7; г) y = x² − x.

Для квадратичной функции вершина параболы имеет абсциссу \(x_0=-\frac{b}{2a}\). Если \(a>0\), функция убывает до вершины и возрастает после неё; если \(a<0\), функция возрастает до вершины и убывает после неё.

1. а) \(y=x^2-5x+4\).
   \(x_0=\frac{5}{2}\), ветви направлены вверх.
   Функция убывает на \((-\infty;\frac{5}{2})\), возрастает на \((\frac{5}{2};+\infty)\).
2. б) \(y=5x^2+15x-1\).
   \(x_0=-\frac{15}{2\cdot5}=-\frac{3}{2}\), ветви направлены вверх.
   Функция убывает на \((-\infty;-\frac{3}{2})\), возрастает на \((-\frac{3}{2};+\infty)\).
3. в) \(y=-x^2+8x-7\).
   \(x_0=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4\), ветви направлены вниз.
   Функция возрастает на \((-\infty;4)\), убывает на \((4;+\infty)\).
4. г) \(y=x^2-x\).
   \(x_0=\frac{1}{2}\), ветви направлены вверх.
   Функция убывает на \((-\infty;\frac{1}{2})\), возрастает на \((\frac{1}{2};+\infty)\).

Ответ: а) убывает на \((-\infty;\frac{5}{2})\), возрастает на \((\frac{5}{2};+\infty)\); б) убывает на \((-\infty;-\frac{3}{2})\), возрастает на \((-\frac{3}{2};+\infty)\); в) возрастает на \((-\infty;4)\), убывает на \((4;+\infty)\); г) убывает на \((-\infty;\frac{1}{2})\), возрастает на \((\frac{1}{2};+\infty)\).