30.5. Представьте многочлен р(х) в виде произведения многочлена и одночлена и найдите, при каких значениях выполняется равенство р(х) = 0, если: a) p(x) = 5x² - 10x; б) p(x) = x² + 6x³; в) p(x) = 7x² + 21x; г) p(x) = 4x⁴ - x³.

Решение:

Чтобы найти значения, при которых \( p(x) = 0 \), нужно разложить многочлен на множители и приравнять каждый множитель к нулю.

а) \( p(x) = 5x^2 - 10x \)

1. Вынесем общий множитель \( 5x \): \( p(x) = 5x(x - 2) \)
2. Приравняем к нулю: \( 5x(x - 2) = 0 \)
3. Решения: \( 5x = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

б) \( p(x) = x^2 + 6x^3 \)

1. Вынесем общий множитель \( x^2 \): \( p(x) = x^2(1 + 6x) \)
2. Приравняем к нулю: \( x^2(1 + 6x) = 0 \)
3. Решения: \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( 1 + 6x = 0 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{6} \)

в) \( p(x) = 7x^2 + 21x \)

1. Вынесем общий множитель \( 7x \): \( p(x) = 7x(x + 3) \)
2. Приравняем к нулю: \( 7x(x + 3) = 0 \)
3. Решения: \( 7x = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)

г) \( p(x) = 4x^4 - x^3 \)

1. Вынесем общий множитель \( x^3 \): \( p(x) = x^3(4x - 1) \)
2. Приравняем к нулю: \( x^3(4x - 1) = 0 \)
3. Решения: \( x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( 4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \)

Ответ: а) \( x=0, x=2 \); б) \( x=0, x=-\frac{1}{6} \); в) \( x=0, x=-3 \); г) \( x=0, x=\frac{1}{4} \).