30. На рисунке 46 четырёхугольник ABCD — параллелограмм. На прямой AC отметили точки M и N, а на прямой BD — точки K и P так, что AM = CN и BP = DK. Докажите, что четырёхугольник KMPN — параллелограмм.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Точки M, O, N лежат на прямой AC. Так как AM = CN, а AO = CO, то OM = ON: из равенств AM = AO + OM и CN = CO + ON получаем OM = ON. Следовательно, O — середина MN.

Точки K, O, P лежат на прямой BD. Из BP = DK и BO = DO следует OK = OP: BP = BO + OP и DK = DO + OK. Значит, O — середина KP.

В четырёхугольнике KMPN диагонали KP и MN пересекаются и делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: KMPN — параллелограмм.