30. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 2x⁴ - x на отрезке [1; 2]

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 2x^4 - x \):
   \[ f'(x) = 8x^3 - 1 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 8x^3 - 1 = 0 \]
   \[ 8x^3 = 1 \]
   \[ x^3 = \frac{1}{8} \]
   \[ x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \]
3. Значение \( x = \frac{1}{2} \) не входит в отрезок \( [1; 2] \), поэтому мы будем вычислять значения функции только на концах отрезка.
4. Вычислим значение функции на концах отрезка:
   При \( x = 1 \):
   \[ f(1) = 2(1)^4 - 1 = 2 - 1 = 1 \]
   При \( x = 2 \):
   \[ f(2) = 2(2)^4 - 2 = 2 \cdot 16 - 2 = 32 - 2 = 30 \]
5. Сравним полученные значения: \( 1 \) и \( 30 \). Наибольшее значение равно \( 30 \).

Ответ: 3. 30