30. Представить выражения в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня: а) 5/(3⁵√5); б) a/∛2; в) 4/(x⁴√4); г) (x − √x)/(2√x); д) 1/(√5 + √2); е) 3/(√7 − √5); ж) (√6 + 1)/(√6 − 1); з) (a − √2)/(a + √2).

Умножаем числитель и знаменатель на подходящий множитель: для суммы или разности квадратных корней — на сопряжённое выражение.

1. а) \(\frac{5}{3\sqrt[5]{5}}=\frac{5\sqrt[5]{625}}{3\sqrt[5]{3125}}=\frac{\sqrt[5]{625}}{3}\).
2. б) \(\frac{a}{\sqrt[3]{2}}=\frac{a\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{a\sqrt[3]{4}}{2}\).
3. в) \(\frac{4}{x\sqrt[4]{4}}=\frac{4\sqrt[4]{64}}{x\sqrt[4]{256}}=\frac{\sqrt[4]{64}}{x}\).
4. г) При \(x>0\): \(\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{2}\).
5. д) \(\frac1{\sqrt5+\sqrt2}=\frac{\sqrt5-\sqrt2}{5-2}=\frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}\).
6. е) \(\frac3{\sqrt7-\sqrt5}=\frac{3(\sqrt7+\sqrt5)}{7-5}=\frac{3(\sqrt7+\sqrt5)}2\).
7. ж) \(\frac{\sqrt6+1}{\sqrt6-1}=\frac{(\sqrt6+1)^2}{6-1}=\frac{7+2\sqrt6}{5}\).
8. з) \(\frac{a-\sqrt2}{a+\sqrt2}=\frac{(a-\sqrt2)^2}{a^2-2}=\frac{a^2-2a\sqrt2+2}{a^2-2}\) (при \(a\ne-\sqrt2\) и \(a^2\ne2\)).