30. Составьте математические модели и решите с их помощью следующие задачи. а) Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. б) Баржа в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт A в 16:00. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

а)

1. Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда её скорость против течения — x − 1 км/ч, а по течению — x + 1 км/ч.
2. Время пути против течения: \(\frac{255}{x-1}\) ч; время обратного пути: \(\frac{255}{x+1}\) ч. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:
   \[\frac{255}{x-1}-\frac{255}{x+1}=2.\]
3. При \(x>1\):
   \[\frac{510}{x^2-1}=2,\qquad x^2-1=255,\qquad x^2=256,\qquad x=16.\]
   Отрицательное значение не подходит, поскольку скорость положительна.
4. Проверка: скорости лодки против и по течению равны 15 и 17 км/ч; времена пути — 17 и 15 часов, разница составляет 2 часа.

б)

1. От 10:00 до 16:00 прошло 6 часов. Стоянка заняла 1 час 20 минут, то есть \(\frac{4}{3}\) часа. На движение баржа затратила \(6-\frac{4}{3}=\frac{14}{3}\) часа.
2. Пусть \(v\) км/ч — скорость течения. Скорости баржи по течению и против течения равны соответственно \(7+v\) и \(7-v\) км/ч. Составим модель для двух участков по 15 км:
   \[\frac{15}{7+v}+\frac{15}{7-v}=\frac{14}{3},\qquad 0<v<7.\]
3. Сложим дроби и решим уравнение:
   \[\frac{210}{49-v^2}=\frac{14}{3},\qquad 630=686-14v^2,\qquad v^2=4.\]
   С учётом условия \(0<v<7\), получаем \(v=2\).
4. Проверка: время движения по течению — \(15/9=5/3\) часа, против течения — \(15/5=3\) часа; вместе \(14/3\) часа. С учётом стоянки получается 6 часов.

Ответ: а) 16 км/ч; б) 2 км/ч.