30. УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ НА ИХ СУММУ

Решение:

Формула сокращённого умножения: \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).

1. Представьте произведение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

\( (6y - 5)(6y + 5) = (6y)^2 - 5^2 = 36y^2 - 25 \)

а) \( (8p - 3m^2)(8p + 3m^2) \)

Применяем формулу \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 8p \) и \( b = 3m^2 \).

\( (8p)^2 - (3m^2)^2 = 64p^2 - 9m^4 \)

б) \( (12 + x^3)(12 - x^3) \)

Применяем формулу \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 12 \) и \( b = x^3 \).

\( 12^2 - (x^3)^2 = 144 - x^6 \)

в) \( (y^5 + 5x^4)(5x^4 - y^5) \)

Запишем выражение как \( (5x^4 + y^5)(5x^4 - y^5) \). Применяем формулу \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 5x^4 \) и \( b = y^5 \).

\( (5x^4)^2 - (y^5)^2 = 25x^8 - y^{10} \)

г) \( (7a^5 + 2a^2)(2a^2 - 7a^5) \)

Запишем выражение как \( (2a^2 + 7a^5)(2a^2 - 7a^5) \). Применяем формулу \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 2a^2 \) и \( b = 7a^5 \).

\( (2a^2)^2 - (7a^5)^2 = 4a^4 - 49a^{10} \)

2. Выполните умножение:

а) \( 5x(x - 4)(x + 4) \)

Сначала умножим \( (x - 4)(x + 4) \) по формуле \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).

\( x^2 - 4^2 = x^2 - 16 \)

Теперь умножим на \( 5x \):

\( 5x(x^2 - 16) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 16 = 5x^3 - 80x \)

б) \( -4y(y - 2)(2 + y) \)

Запишем \( (y - 2)(2 + y) \) как \( (y - 2)(y + 2) \). Применим формулу \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), где \( a = y \) и \( b = 2 \).

\( y^2 - 2^2 = y^2 - 4 \)

Теперь умножим на \( -4y \):

\( -4y(y^2 - 4) = -4y \cdot y^2 - (-4y) \cdot 4 = -4y^3 + 16y \)

в) \( y^3(y^3 - 5)(y^3 + 5) \)

Сначала умножим \( (y^3 - 5)(y^3 + 5) \) по формуле \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), где \( a = y^3 \) и \( b = 5 \).

\( (y^3)^2 - 5^2 = y^6 - 25 \)

Теперь умножим на \( y^3 \):

\( y^3(y^6 - 25) = y^3 \cdot y^6 - y^3 \cdot 25 = y^9 - 25y^3 \)

г) \( -p^3(4 - p^3)(p^2 + 4) \)

Здесь нет прямой формулы \( (a-b)(a+b) \). Возможно, в условии опечатка и должно быть \( (4-p^3)(4+p^3) \) или \( (p^2-4)(p^2+4) \).

Если предположить, что должно быть \( -p^3(4 - p^3)(4 + p^3) \), тогда:

\( (4 - p^3)(4 + p^3) = 4^2 - (p^3)^2 = 16 - p^6 \)

Умножим на \( -p^3 \):

\( -p^3(16 - p^6) = -p^3 \cdot 16 - (-p^3) \cdot p^6 = -16p^3 + p^9 \)

Если предположить, что должно быть \( -p^3(p^2 - 4)(p^2 + 4) \), тогда:

\( (p^2 - 4)(p^2 + 4) = (p^2)^2 - 4^2 = p^4 - 16 \)

Умножим на \( -p^3 \):

\( -p^3(p^4 - 16) = -p^3 \cdot p^4 - (-p^3) \cdot 16 = -p^7 + 16p^3 \)

Без уточнения условия невозможно дать однозначный ответ.

3. Длина прямоугольника на 7 см больше стороны квадрата, ширина — на 7 см меньше стороны квадрата. Требуется сравнить площадь прямоугольника с площадью квадрата. Выберите верное утверждение:

Пусть сторона квадрата равна \( a \) см.

Тогда длина прямоугольника равна \( a + 7 \) см, а ширина — \( a - 7 \) см.

Площадь квадрата: \( S_{квадрата} = a^2 \) см².

Площадь прямоугольника: \( S_{прямоугольника} = (a + 7)(a - 7) \) см².

Используем формулу \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \):

\( S_{прямоугольника} = a^2 - 7^2 = a^2 - 49 \) см².

Сравним площади:

\( S_{прямоугольника} = a^2 - 49 \) и \( S_{квадрата} = a^2 \).

Очевидно, что \( a^2 - 49 < a^2 \) при \( a > 7 \) (чтобы ширина была положительной).

Следовательно, площадь прямоугольника меньше площади квадрата.

1. Площади квадрата и прямоугольника равны — неверно.

2. Площадь прямоугольника на 49 см² меньше площади квадрата — верно.

3. Площадь прямоугольника на 49 см³ больше площади квадрата — неверно (единицы измерения не совпадают, и знак сравнения не тот).

4. Сравнить площади квадрата и прямоугольника нельзя, как неизвестна длина стороны квадрата — неверно, так как мы смогли сравнить их алгебраически.

Ответ: 2. Площадь прямоугольника на 49 см² меньше площади квадрата.