30. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Выполните задания: а) определите, сколько всего слов в списке; б) укажите слова, которые стоят на 150-м, 250-м, 350-м и 450-м местах; в) укажите порядковые номера слов АКУРА, КАРАУ, РУКАА, УКАРА, УРАКА; г) укажите номера первого и последнего слов, которые начинаются с буквы Р.

Правило: каждому слову соответствует пятизначная запись числа в системе счисления с основанием 4: А = 0, К = 1, Р = 2, У = 3. Порядковый номер слова на единицу больше соответствующего числа.

а) Для каждой из пяти позиций есть 4 варианта буквы, поэтому всего слов: \(4^5=1024\).

б) Вычитаем из номера 1 и переводим результат в пятизначную четверичную запись:

• 150-е: \(149_{10}=21101_4\) → РККАК;
• 250-е: \(249_{10}=3321_4\), дополняем до пяти цифр: \(03321_4\) → АУУКУ;
• 350-е: \(349_{10}=11131_4\) → КККУК;
• 450-е: \(449_{10}=13001_4\) → КУААК.

в) Переводим каждое слово в четверичное число и прибавляем 1:

• АКУРА: \(01320_4=120\), номер 121;
• КАРАУ: \(10203_4=291\), номер 292;
• РУКАА: \(23100_4=720\), номер 721;
• УКАРА: \(31020_4=840\), номер 841;
• УРАКА: \(32010_4=900\), номер 901.

г) Перед словами, начинающимися с Р, идут все слова с первой буквой А и К: \(2\cdot4^4=512\). Поэтому первое слово с Р имеет номер 513. Последнее слово с Р — РУУУУ; его номер \(512+4^4=768\).

Ответ: а) 1024 слова; б) РККАК, АУУКУ, КККУК, КУААК; в) 121, 292, 721, 841, 901; г) 513 и 768.