30. Вычислите определенный интеграл: ∫2_1 (2x + 3x²) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx \), сначала найдем первообразную для функции \( f(x) = 2x + 3x^2 \).

1. Первообразная для \( 2x \) равна \( x^2 \).
2. Первообразная для \( 3x^2 \) равна \( x^3 \).
3. Таким образом, первообразная \( F(x) \) для \( f(x) \) равна \( F(x) = x^2 + x^3 \).
4. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
5. Подставим пределы интегрирования: \( F(2) = 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12 \).
6. \( F(1) = 1^2 + 1^3 = 1 + 1 = 2 \).
7. Значение интеграла равно: \( F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10 \).

Ответ: 10