Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 300. Исследуйте функцию и постройте её график: а) \(f(x)=\frac12x^2-\frac15x^5\); б) \(f(x)=4x^2-x^4\); в)…Фото задания

Ответ:

Для каждой функции найдём область определения, нули, промежутки монотонности, экстремумы и поведение на бесконечности. Графики построены по этим данным.

а) \(f(x)=\frac12x^2-\frac15x^5\).

  1. Это многочлен, поэтому область определения — \(\mathbb R\).
  2. Нули: \(f(x)=x^2(\frac12-\frac15x^3)=0\), откуда \(x=0\) и \(x=\sqrt[3]{\frac52}\).
  3. Производная: \(f'(x)=x-x^4=x(1-x^3)\). Функция убывает на \(( -\infty,0)\), возрастает на \((0,1)\), убывает на \((1,+\infty)\).
  4. В точке \(x=0\) — минимум: \(f(0)=0\). В точке \(x=1\) — максимум: \(f(1)=\frac3{10}\).
  5. При \(x\to-\infty\), \(f(x)\to+\infty\); при \(x\to+\infty\), \(f(x)\to-\infty\).

б) \(f(x)=4x^2-x^4\).

  1. Область определения — \(\mathbb R\).
  2. Нули: \(f(x)=x^2(4-x^2)=0\), поэтому \(x=-2,0,2\).
  3. Производная: \(f'(x)=4x(2-x^2)\). Функция возрастает на \(( -\infty,-\sqrt2)\) и \((0,\sqrt2)\), убывает на \(( -\sqrt2,0)\) и \((\sqrt2,+\infty)\).
  4. Максимумы достигаются при \(x=\pm\sqrt2\): \(f(\pm\sqrt2)=4\). Минимум достигается при \(x=0\): \(f(0)=0\).
  5. При \(x\to\pm\infty\), \(f(x)\to-\infty\). Функция чётная.

в) \(f(x)=\frac15x^5-\frac43x^3\).

  1. Область определения — \(\mathbb R\).
  2. Нули: \(f(x)=x^3(\frac15x^2-\frac43)=0\), поэтому \(x=0\) и \(x=\pm\sqrt{\frac{20}{3}}\).
  3. Производная: \(f'(x)=x^2(x^2-4)\). Функция возрастает на \(( -\infty,-2)\) и \((2,+\infty)\), убывает на \((-2,2)\).
  4. В точке \(x=-2\) максимум: \(f(-2)=\frac{64}{15}\). В точке \(x=2\) минимум: \(f(2)=-\frac{64}{15}\).
  5. При \(x\to-\infty\), \(f(x)\to-\infty\); при \(x\to+\infty\), \(f(x)\to+\infty\). Функция нечётная.

г) \(f(x)=5x^3-3x^5\).

  1. Область определения — \(\mathbb R\).
  2. Нули: \(f(x)=x^3(5-3x^2)=0\), откуда \(x=0\) и \(x=\pm\sqrt{\frac53}\).
  3. Производная: \(f'(x)=15x^2(1-x^2)\). Функция убывает на \(( -\infty,-1)\), возрастает на \((-1,1)\), убывает на \((1,+\infty)\).
  4. В точке \(x=-1\) минимум: \(f(-1)=-2\). В точке \(x=1\) максимум: \(f(1)=2\).
  5. При \(x\to-\infty\), \(f(x)\to+\infty\); при \(x\to+\infty\), \(f(x)\to-\infty\). Функция нечётная.