300. Изобразите схематически график функции $y=x^7$. Как вы думаете, каковы минимальное и максимальное значения функции на отрезке: а) $[-1;1]$; б) $[0;2]$; в) $[-2;1]$? Укажите, на каких промежутках из области определения функция положительна, отрицательна.

Question

Вопрос: $Фото задания: 300. Изобразите схематически график функции $y=x^7$. Как вы думаете, каковы минимальное и максимальное значения функции…$ Фото задания

300. Изобразите схематически график функции $y=x^7$. Как вы думаете, каковы минимальное и максимальное значения функции на отрезке: а) $[-1;1]$; б) $[0;2]$; в) $[-2;1]$? Укажите, на каких промежутках из области определения функция положительна, отрицательна.

Accepted Answer

Функция $y=x^7$ определена при всех действительных $x$. Так как показатель степени нечётный, функция возрастает на всей числовой прямой и проходит через начало координат.

а) На отрезке $[-1;1]$:

Функция возрастает, поэтому минимальное значение достигается при $x=-1$: $y(-1)=(-1)^7=-1$.
Максимальное значение достигается при $x=1$: $y(1)=1^7=1$.

Ответ: минимум $-1$, максимум $1$.

б) На отрезке $[0;2]$:

Минимальное значение достигается при $x=0$: $y(0)=0^7=0$.
Максимальное значение достигается при $x=2$: $y(2)=2^7=128$.

Ответ: минимум $0$, максимум $128$.

в) На отрезке $[-2;1]$:

Минимальное значение достигается при $x=-2$: $y(-2)=(-2)^7=-128$.
Максимальное значение достигается при $x=1$: $y(1)=1^7=1$.

Ответ: минимум $-128$, максимум $1$.

Поскольку степень нечётная, знак функции совпадает со знаком аргумента:

функция отрицательна при $x\in(-\infty;0)$;
функция равна нулю при $x=0$;
функция положительна при $x\in(0;+\infty)$.