301. Запиши предложения в тетради и закончи их так, чтобы они были верны в множестве натуральных чисел. Докажи их. а) Сумма чётного и нечётного чисел — число ____. б) Сумма любых двух нечётных чисел — число ____. в) Разность любых двух нечётных чисел — число ____. г) Произведение чётного и нечётного чисел — число ____.

а) Сумма чётного и нечётного чисел — нечётное число.

Пусть чётное число имеет вид \(2k\), а нечётное — \(2m+1\). Тогда их сумма равна \(2k+(2m+1)=2(k+m)+1\), а это нечётное число.

б) Сумма любых двух нечётных чисел — чётное число.

Представим нечётные числа как \(2k+1\) и \(2m+1\). Их сумма: \((2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1)\). Она делится на 2, значит, чётная.

в) Разность двух нечётных чисел, если уменьшаемое больше вычитаемого, — чётное число.

Пусть нечётные числа равны \(2k+1\) и \(2m+1\), причём первое больше второго. Тогда \((2k+1)-(2m+1)=2(k-m)\). Разность делится на 2 и при указанном порядке чисел является натуральной, значит, она чётная.

г) Произведение чётного и нечётного чисел — чётное число.

Пусть чётное число равно \(2k\), а нечётное — \(2m+1\). Тогда их произведение \(2k(2m+1)=2\bigl(k(2m+1)\bigr)\) делится на 2, значит, оно чётное.