303. На доске BA (рис. 40) укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии d = 5 см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси OO'. Какова частота вращения доски, если нить отвеса длиной l = 8 см отклонилась от вертикали на угол α = 40°?

Решение:

Для решения задачи используем два условия: равнодействующая сил, действующих на груз, сообщает ему центростремительное ускорение, а также учитываем, что угол отклонения груза от вертикали зависит от соотношения сил.

1. Выразим силы:
• Сила тяжести: \( mg \)
• Сила упругости нити: \( T \)
2. Условие равновесия в проекции на горизонталь (направление к центру вращения):
   \( T \sin \alpha = ma_{ц} \), где \( a_{ц} = \omega^2 l \sin \alpha \) — центростремительное ускорение.
   \( T \sin \alpha = m \omega^2 l \sin \alpha \)
3. Условие равновесия в проекции на вертикаль:
   \( T \cos \alpha = mg \)
4. Найдем угловую скорость \( \omega \):
   Разделим первое уравнение на второе:
   \[ \frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \omega^2 l \sin \alpha}{mg} \]
   \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\omega^2 l \sin \alpha}{g} \]
   Учитывая, что \( l \sin \alpha \) — это радиус окружности, по которой движется груз:
   \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\omega^2 r}{g} \text{, где } r = l \sin \alpha \]
   Перегруппируем для нахождения \( \omega^2 \):
   \[ \omega^2 = \frac{g \operatorname{tg} \alpha}{l \sin \alpha} \]
   Теперь подставим данные: \( g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 \), \( \alpha = 40° \), \( l = 0.08 \ \text{м} \).
   \[ \omega^2 = \frac{9.8 \ \text{м/с}^2 \cdot \operatorname{tg}(40°)}{0.08 \ \text{м} \cdot \sin(40°)} \]
   \[ \omega^2 \approx \frac{9.8 \cdot 0.839}{0.08 \cdot 0.643} \approx \frac{8.222}{0.05144} \approx 159.84 \ \text{с}^{-2} \]
   \[ \omega \approx \sqrt{159.84} \approx 12.64 \ \text{с}^{-1} \]
5. Найдем частоту вращения \( \nu \):
   Угловая скорость связана с частотой формулой \( \omega = 2\pi \nu \).
   \[ \nu = \frac{\omega}{2\pi} \]
   \[ \nu \approx \frac{12.64 \ \text{с}^{-1}}{2 \cdot 3.14159} \approx \frac{12.64}{6.283} \approx 2.01 \ \text{Гц} \]

Ответ: Частота вращения доски примерно 2.01 Гц.