307. Решить уравнения: 1) $\log_5 x=2\log_5 3+4\log_{25}2$; 2) $\log_2 x-2\log_{1/2}x=9$; 3) $\log_3 x=9\log_{27}8-3\log_3 4$; 4) $\log_9 x^2+\log_{\sqrt3}x=3$; 5) $\log_2 x+\log_8 x=8$; 6) $\log_4 x-\log_{16}x=\frac14$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 307. Решить уравнения: 1) $\log_5 x=2\log_5 3+4\log_{25}2$; 2) $\log_2 x-2\log_{1/2}x=9$; 3) \(\log_3…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем логарифм с основанием 25: $\log_{25}2=\frac12\log_5 2$.
Тогда $\log_5 x=\log_5 9+2\log_5 2=\log_5 36$, откуда $x=36$.
Так как $\log_{1/2}x=-\log_2x$, получаем $3\log_2x=9$. Значит, $\log_2x=3$, поэтому $x=8$.
$\log_{27}8=\frac13\log_3 8$, поэтому правая часть равна $3\log_3 8-3\log_3 4=3\log_3 2=\log_3 8$.
Следовательно, $\log_3x=\log_3 8$, откуда $x=8$.
Область определения: $x>0$. При этом $\log_9x^2=\log_3x$, а $\log_{\sqrt3}x=2\log_3x$.
Получаем $3\log_3x=3$, значит, $x=3$.
Положим $y=\log_2x$. Тогда $\log_8x=\frac{y}{3}$, и уравнение принимает вид $y+\frac{y}{3}=8$. Отсюда $y=6$, поэтому $x=2^6=64$.
Положим $y=\log_2x$. Тогда $\log_4x=\frac{y}{2}$, $\log_{16}x=\frac{y}{4}$. Поэтому $\frac{y}{4}=\frac14$, откуда $y=1$ и $x=2$.

Ответ: 1) $36$; 2) $8$; 3) $8$; 4) $3$; 5) $64$; 6) $2$.

307. Решить уравнения: 1) \(\log_5 x=2\log_5 3+4\log_{25}2\); 2) \(\log_2 x-2\log_{1/2}x=9\); 3) \(\log_3 x=9\log_{27}8-3\log_3 4\); 4) \(\log_9 x^2+\log_{\sqrt3}x=3\); 5) \(\log_2 x+\log_8 x=8\); 6) \(\log_4 x-\log_{16}x=\frac14\).