Ответ:

  1. Герасиму, как отличному работнику, тут же дали в руки косу. Оборот с как имеет значение причины: «поскольку он был отличным работником»; поэтому обособляется.
  2. Уже не раз доходили до меня слухи о Яшке Турке как о лучшем певце в околотке. Сочетание как о лучшем певце означает «в качестве лучшего певца» и входит в характеристику Яшки; запятые не нужны.
  3. Полесье сохранилось у меня в памяти как печальная, но немного загадочная страна. Оборот с как имеет значение «в качестве страны» и входит в сказуемое; запятая не ставится. Перед но ставится запятая между однородными определениями.
  4. Дуб, как очень крепкое дерево, применяется для изготовления паркета. Оборот с как имеет значение причины: «поскольку дуб — очень крепкое дерево»; он обособляется.
  5. Наш сад как проходной двор. Оборот с как входит в состав сказуемого, запятая не ставится.
  6. Как страстный любитель охоты, я целыми неделями не бывал дома. Оборот с как имеет значение причины и обособляется.