308 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

Решение:

• \[ \angle B_{внешний} = 60^{\circ} \]
• \[ \angle B_{внутренний} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
• Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \[ \angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]
• Расстояние от вершины C до прямой AB — это высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Обозначим эту высоту как $$h_C$$.
• В прямоугольном треугольнике, образованном вершиной C, основанием AB и точкой пересечения высоты с AB (обозначим ее H), мы имеем:
• \[ \sin A = \frac{h_C}{AC} \]
• \[ h_C = AC \cdot \sin A \]
• \[ h_C = 37 \cdot \sin 30^{\circ} \]
• \[ h_C = 37 \cdot \frac{1}{2} = 18.5 \]

Ответ: 18.5 см