31.8. Решите систему уравнений: 1) { (2x + 1)² - (2x - y) (2x + y) = (y + 8) (y – 10), 4x(x-5) - (2x-3) (2x - 9) = 6y - 104; 2) { (x-2)(x²+2x+4)-x(x - 4) (x + 4) = 20-20y, (3x - 2)(4y + 5) = 2y(6x – 1) – 58.

Решение:

Данная задача содержит две системы уравнений. Решим каждую из них по отдельности.

Система 1:

• Первое уравнение: \[ (2x + 1)^2 - (2x - y)(2x + y) = (y + 8)(y - 10) \] Раскроем скобки: \[ (4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - y^2) = y^2 - 10y + 8y - 80 \] Упростим: \[ 4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + y^2 = y^2 - 2y - 80 \] Сократим подобные члены: \[ 4x + 1 = -2y - 80 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4x + 2y + 81 = 0 \]
• Второе уравнение: \[ 4x(x - 5) - (2x - 3)(2x - 9) = 6y - 104 \] Раскроем скобки: \[ (4x^2 - 20x) - (4x^2 - 18x - 6x + 27) = 6y - 104 \] Упростим: \[ 4x^2 - 20x - (4x^2 - 24x + 27) = 6y - 104 \] \[ 4x^2 - 20x - 4x^2 + 24x - 27 = 6y - 104 \] Сократим подобные члены: \[ 4x - 27 = 6y - 104 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4x - 6y + 77 = 0 \]
• Решение системы из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 2y + 81 = 0 \\ 4x - 6y + 77 = 0 \end{cases} \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ (4x + 2y + 81) - (4x - 6y + 77) = 0 \] \[ 4x + 2y + 81 - 4x + 6y - 77 = 0 \] \[ 8y + 4 = 0 \] \[ 8y = -4 \] \[ y = -\frac{4}{8} = -0.5 \] Подставим значение y в первое уравнение: \[ 4x + 2(-0.5) + 81 = 0 \] \[ 4x - 1 + 81 = 0 \] \[ 4x + 80 = 0 \] \[ 4x = -80 \] \[ x = -20 \]

Система 2:

• Первое уравнение: \[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x(x - 4)(x + 4) = 20 - 20y \] Используем формулу разности кубов $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$ и разность квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$: \[ (x^3 - 2^3) - x(x^2 - 16) = 20 - 20y \] \[ x^3 - 8 - (x^3 - 16x) = 20 - 20y \] \[ x^3 - 8 - x^3 + 16x = 20 - 20y \] Упростим: \[ -8 + 16x = 20 - 20y \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 16x + 20y - 28 = 0 \] Разделим на 4: \[ 4x + 5y - 7 = 0 \]
• Второе уравнение: \[ (3x - 2)(4y + 5) = 2y(6x - 1) - 58 \] Раскроем скобки: \[ 12xy + 15x - 8y - 10 = 12xy - 2y - 58 \] Сократим $$12xy$$ с обеих сторон: \[ 15x - 8y - 10 = -2y - 58 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 15x - 8y + 2y - 10 + 58 = 0 \] \[ 15x - 6y + 48 = 0 \] Разделим на 3: \[ 5x - 2y + 16 = 0 \]
• Решение системы из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 5y - 7 = 0 \\ 5x - 2y + 16 = 0 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2, второе на 5, чтобы избавиться от y: \[ \begin{cases} 8x + 10y - 14 = 0 \\ 25x - 10y + 80 = 0 \end{cases} \] Сложим два уравнения: \[ (8x + 10y - 14) + (25x - 10y + 80) = 0 \] \[ 33x + 66 = 0 \] \[ 33x = -66 \] \[ x = -2 \] Подставим значение x во второе уравнение ($$5x - 2y + 16 = 0$$): \[ 5(-2) - 2y + 16 = 0 \] \[ -10 - 2y + 16 = 0 \] \[ 6 - 2y = 0 \] \[ 2y = 6 \] \[ y = 3 \]

Ответ:

• Система 1: x = -20, y = -0.5
• Система 2: x = -2, y = 3