31. Даны две коробки, имеющие форму правиль-ной четырёхугольной призмы, стоящей на основа-нии. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой коробки больше объёма второй?

Решение:

Обозначим:

• \( h_1 \) — высота первой коробки, \( h_2 \) — высота второй коробки.
• \( w_1 \) — ширина первой коробки, \( w_2 \) — ширина второй коробки.
• \( V_1 \) — объём первой коробки, \( V_2 \) — объём второй коробки.

Из условия задачи известно:

• Первая коробка в 4,5 раза ниже второй: \( h_1 = \frac{1}{4,5} h_2 = \frac{2}{9} h_2 \)
• Вторая коробка в 3 раза уже первой: \( w_2 = \frac{1}{3} w_1 \), следовательно, \( w_1 = 3w_2 \)

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле: \( V = a \cdot b \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — стороны основания, \( h \) — высота.

Для первой коробки: \( V_1 = w_1 \cdot w_1 \cdot h_1 = w_1^2 h_1 \)

Для второй коробки: \( V_2 = w_2 \cdot w_2 \cdot h_2 = w_2^2 h_2 \)

Подставим известные соотношения в формулу для \( V_1 \):

\( V_1 = (3w_2)^2 \cdot \frac{2}{9} h_2 = 9w_2^2 \cdot \frac{2}{9} h_2 = 2w_2^2 h_2 \)

Сравним объёмы \( V_1 \) и \( V_2 \):

\( V_1 = 2w_2^2 h_2 \)

\( V_2 = w_2^2 h_2 \)

Чтобы найти, во сколько раз объём первой коробки больше объёма второй, разделим \( V_1 \) на \( V_2 \):

\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{2w_2^2 h_2}{w_2^2 h_2} = 2 \)

Ответ: объём первой коробки в 2 раза больше объёма второй.