31. Даны векторы \(\vec a(4; -8)\) и \(\vec b(2; 4)\). Найдите \(\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).

Используем формулу косинуса угла между векторами: \(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\).

Скалярное произведение: \(\vec a\cdot\vec b=4\cdot2+(-8)\cdot4=8-32=-24\).

Длины векторов: \(|\vec a|=\sqrt{4^2+(-8)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\), \(|\vec b|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Тогда \(\cos\alpha=\dfrac{-24}{(4\sqrt5)(2\sqrt5)}=\dfrac{-24}{40}=-\dfrac35\).

Ответ: \(\cos\alpha=-\dfrac35\).