31. Есть ли такое натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Пусть искомое число — \(n\). Сумма всех натуральных чисел, предшествующих ему, равна \(1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\).

Составим уравнение:

\[n=\frac{n(n-1)}{2}\]

Так как \(n\) — натуральное число, \(n\ne0\). Делим обе части на \(n\):

\[1=\frac{n-1}{2},\qquad n-1=2,\\qquad n=3.\]

Проверка: \(1+2=3\).

Ответ: да, это число 3.