31. Найдите неопределенный интеграл: ∫ (2√x + 3/√x - x^3) dx.

Решение:

Для нахождения неопределенного интеграла, мы можем использовать свойства линейности интеграла и степенные правила интегрирования.

1. Разделим интеграл на три отдельных интеграла: \[ \int \left( 2\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} - x^3 \right) dx = \int 2\sqrt{x} dx + \int \frac{3}{\sqrt{x}} dx - \int x^3 dx \]
2. Перепишем корни в виде степеней: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \).
3. Применим правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) для каждого члена:
• \( \int 2x^{1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{4}{3} x^{3/2} \)
• \( \int 3x^{-1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 3 \cdot 2 x^{1/2} = 6 x^{1/2} \)
• \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \)
4. Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C \):
\[ \frac{4}{3} x^{3/2} + 6 x^{1/2} - \frac{x^4}{4} + C \]
5. Можно также переписать \( x^{3/2} \) как \( x\sqrt{x} \) и \( x^{1/2} \) как \( \sqrt{x} \):
\[ \frac{4}{3} x\sqrt{x} + 6\sqrt{x} - \frac{x^4}{4} + C \]

Ответ: \( \frac{4}{3} x^{3/2} + 6 x^{1/2} - \frac{x^4}{4} + C \) или \( \frac{4}{3} x\sqrt{x} + 6\sqrt{x} - \frac{x^4}{4} + C \).