31. Постройте график функции и перечислите её свойства: a) y = 3/x; б) y = -4/x.

Задание 31

а) Построение графика функции y = 3/x и перечисление свойств:

Краткое пояснение: Данная функция является гиперболой. График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях, так как коэффициент перед 1/x (k=3) положительный. Асимптоты графика — оси координат.

Свойства функции y = 3/x:

• Область определения: x ≠ 0. Все действительные числа, кроме нуля.
• Область значений: y ≠ 0. Все действительные числа, кроме нуля.
• Четность/Нечетность: Функция является нечетной, так как f(-x) = 3/(-x) = -3/x = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: Функция убывает на интервалах (-∞; 0) и (0; +∞).
• Пересечение с осями: График не пересекает оси координат.
• Асимптоты: Ось Oy (x=0) — вертикальная асимптота; Ось Ox (y=0) — горизонтальная асимптота.

б) Построение графика функции y = -4/x и перечисление свойств:

Краткое пояснение: Данная функция также является гиперболой. График состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях, так как коэффициент перед 1/x (k=-4) отрицательный. Асимптоты графика — оси координат.

Свойства функции y = -4/x:

• Область определения: x ≠ 0. Все действительные числа, кроме нуля.
• Область значений: y ≠ 0. Все действительные числа, кроме нуля.
• Четность/Нечетность: Функция является нечетной, так как f(-x) = -4/(-x) = 4/x = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: Функция возрастает на интервалах (-∞; 0) и (0; +∞).
• Пересечение с осями: График не пересекает оси координат.
• Асимптоты: Ось Oy (x=0) — вертикальная асимптота; Ось Ox (y=0) — горизонтальная асимптота.

Примечание: Для построения графиков рекомендуется использовать систему координат, отмечая несколько точек для каждой ветви функции.