31. Представьте выражение в виде степени: а) \(\frac{k^3}{m^{12}}\); б) \(-\frac{32a^{10}}{b^5}\); в) \(\frac{16x^8}{625y^4}\); г) \(\frac{a^n}{m^{2n}}\).

Выражаем числитель и знаменатель как степени с общим показателем.

1. а) \(\frac{k^3}{m^{12}}=\left(\frac{k}{m^4}\right)^3\), поскольку \((m^4)^3=m^{12}\).
2. б) \(-\frac{32a^{10}}{b^5}=\left(-\frac{2a^2}{b}\right)^5\), поскольку \(32=2^5\), а пятая степень отрицательного числа отрицательна.
3. в) \(\frac{16x^8}{625y^4}=\left(\frac{2x^2}{5y}\right)^4\), поскольку \(16=2^4\) и \(625=5^4\).
4. г) \(\frac{a^n}{m^{2n}}=\left(\frac{a}{m^2}\right)^n\).

Ответ: \(\left(\frac{k}{m^4}\right)^3;\ \left(-\frac{2a^2}{b}\right)^5;\ \left(\frac{2x^2}{5y}\right)^4;\ \left(\frac{a}{m^2}\right)^n\).