31. Сколько корней имеет квадратный трёхчлен: а) \(3x^2-8x+2\); б) \(-\frac12y^2+6y-18\); в) \(m^2-3m+3\)?

Число действительных корней определяем по дискриминанту: если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), один; если \(D<0\), действительных корней нет.

1. а) \(D=(-8)^2-4\cdot3\cdot2=64-24=40>0\). Значит, два корня.
2. б) Здесь \(a=-\frac12\), \(b=6\), \(c=-18\). \(D=6^2-4\cdot(-\frac12)\cdot(-18)=36-36=0\). Значит, один корень.
3. в) \(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0\). Значит, действительных корней нет.

Ответ: а) два; б) один; в) ни одного действительного корня.