31. В параллелограмме ABCD точка M — середина BC, ∠AMD = 90°. Найдите отношение сторон параллелограмма.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\). Тогда \(M\) — середина \(BC\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=\mathbf b+\frac{1}{2}\mathbf d\), а \(\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\mathbf d-\mathbf b\).

Так как \(\angle AMD=90^\circ\), скалярное произведение этих векторов равно нулю:

\[\left(\mathbf b+\frac{1}{2}\mathbf d\right)\left(\frac{1}{2}\mathbf d-\mathbf b\right)=0.\]

После раскрытия скобок смешанные слагаемые сокращаются:

\[\frac{1}{4}|\mathbf d|^2-|\mathbf b|^2=0,\qquad |\mathbf d|=|\mathbf b|.\]

Следовательно, соседние стороны параллелограмма равны.

Ответ: отношение сторон равно 1:1.