31. В таблице показано, как менялся ток в катушке идеального колебательного контура при свободных электромагнитных колебаниях в этом контуре. Вычислите по этим данным максимальную энергию катушки, если емкость конденсатора равна 405 пФ.

Решение:

Для вычисления максимальной энергии катушки, нам нужно знать максимальное значение тока в ней. Анализируя предоставленную таблицу, мы видим, что значения тока для разных моментов времени приведены в миллиамперах (10^-3 А). Максимальное значение тока в таблице составляет 4 А (при времени 0 и 7). Это значение берется из строки, где указано 1, 10^-3 А, однако, судя по абсолютным значениям (4, 2.83, 0, -2.83, -4, -2.83, 0, 2.83, 4, 2.83), максимальное значение тока равно 4 А, а не 4 мА. Предполагается, что в таблице есть опечатка, и в строке с током указано "1, 10³ А" вместо "1, 10^-3 А", либо "4" в таблице означает 4 А. Будем исходить из того, что максимальный ток I_max = 4 А.

Максимальная энергия магнитного поля в катушке (индуктивности L) вычисляется по формуле:

W_{L, max} = 1/2 * L * I_max²

Максимальная энергия электрического поля в конденсаторе (емкостью C) вычисляется по формуле:

W_{C, max} = q_max² / (2 * C) = 1/2 * C * U_max²

В идеальном колебательном контуре энергия электромагнитного поля сохраняется, поэтому максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля:

W_{L, max} = W_{C, max}

При максимальном токе в катушке (I_max) заряд на конденсаторе равен нулю (q = 0), а при максимальном заряде на конденсаторе (q_max) ток в катушке равен нулю (I = 0). Следовательно, максимальная энергия всей системы равна максимальной энергии в катушке или конденсаторе в любой момент времени.

Для решения задачи нам необходимо найти индуктивность L. В идеальном колебательном контуре выполняется соотношение:

I(t) = I_max * sin(ωt + φ)

где ω — циклическая частота колебаний, ω = 1 / sqrt(L*C).

Мы можем найти ω из данных таблицы. Период колебаний T = 2π/ω. Из таблицы видно, что ток возвращается к значению 0 после 2 единиц времени, затем к -2.83 после 3 единиц, к -4 после 4 единиц, к -2.83 после 5 единиц, и снова к 0 после 6 единиц. Это соответствует части синусоиды. Если предположить, что единицы времени в первой строке таблицы соответствуют моментам времени, а "0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9" — это номера отсчетов, и допустить, что 1 единица времени соответствует 10^-6 с, то полный период колебаний T будет равен 8 единицам времени (от 0 до 8, где ток снова равен 4 А, или от 2 до 10, если бы он был). Однако, если посмотреть на симметрию, от 0 до 6 проходит половина периода, где ток изменяется от 4 до 0, затем к -4, и обратно к 0. Это значит, что полный период T = 2 * (6 - 0) = 12 единиц времени, если бы мы видели полную картину. Но глядя на данные, можно предположить, что период T = 2 * (8 - 0) = 16 единиц времени. Если принять, что 1 единица времени = 10^-6 с, то T = 16 * 10^-6 с. Тогда ω = 2π/T = 2π / (16 * 10^-6) = π / (8 * 10^-6) с^-1.

Более простой подход - найти период колебаний по времени, когда ток проходит полный цикл. Например, от максимального значения 4 А (время 0) до следующего максимального значения 4 А (время 8). Значит, период T = 8 * 10^-6 с.

Тогда угловая частота ω = 2π / T = 2π / (8 * 10^-6 с) = π / (4 * 10^-6) с^-1.

Теперь мы можем найти индуктивность L, используя формулу ω = 1 / sqrt(L*C):

ω² = 1 / (L*C)

L = 1 / (ω² * C)

Дано C = 405 пФ = 405 * 10^-12 Ф.

L = 1 / ((π / (4 * 10^-6))² * 405 * 10^-12)

L = 1 / ( (π² / (16 * 10^-12)) * 405 * 10^-12 )

L = 1 / (π² * 405 / 16)

Приближенно π² ≈ 10.

L ≈ 16 / (10 * 405) = 16 / 4050 ≈ 0.00395 Гн = 3.95 мГн.

Теперь вычислим максимальную энергию катушки:

W_{L, max} = 1/2 * L * I_max²

W_{L, max} = 1/2 * (16 / (π² * 405)) * 4²

W_{L, max} = 1/2 * (16 / (π² * 405)) * 16

W_{L, max} = (16 * 16) / (2 * π² * 405) = 256 / (810 * π²)

Используя π² ≈ 9.87:

W_{L, max} ≈ 256 / (810 * 9.87) ≈ 256 / 7994.7 ≈ 0.032 Дж.

Альтернативный способ: найти максимальный заряд q_max.

I(t) = d q / dt = I_max * sin(ωt + φ)

q(t) = ∫ I(t) dt = - (I_max / ω) * cos(ωt + φ)

Максимальный заряд q_max = I_max / ω.

q_max = 4 / (π / (4 * 10^-6)) = 16 * 10^-6 / π Кл.

Максимальная энергия конденсатора:

W_{C, max} = q_max² / (2 * C)

W_{C, max} = (16 * 10^-6 / π)² / (2 * 405 * 10^-12)

W_{C, max} = (256 * 10^-12 / π²) / (810 * 10^-12)

W_{C, max} = 256 / (810 * π²)

Это тот же результат.

Используем более точное значение π ≈ 3.14159.

π² ≈ 9.8696

W_{L, max} = 256 / (810 * 9.8696) ≈ 256 / 7994.376 ≈ 0.03202 Дж.

Округлим до двух знаков после запятой.

Ответ: Максимальная энергия катушки составляет примерно 0.032 Дж.