31) В треугольнике MNB сторона MN равна 16√2, угол B равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

По теореме синусов для описанной окружности сторона, лежащая напротив угла B, равна удвоенному радиусу, умноженному на синус этого угла:

\(MN=2R\sin B\).

Подставим данные и выразим радиус:

\(16\sqrt{2}=2R\sin 135^\circ\).

Так как \(\sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\(16\sqrt{2}=R\sqrt{2}\), откуда \(R=16\).

Ответ: 16.