312 В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол ф. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Решение:

Рассмотрим правильную $$n$$-угольную пирамиду. Угол между плоскостью основания и боковым ребром — это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания.

Пусть $$O$$ — центр основания, $$A$$ — вершина пирамиды, $$B$$ — одна из вершин основания, $$C$$ — середина стороны основания, к которой принадлежит вершина $$B$$. Тогда $$AO$$ — высота пирамиды, $$AB$$ — боковое ребро, $$OB$$ — проекция бокового ребра на плоскость основания.

Угол между плоскостью основания и боковым ребром — это угол $$\angle ABO = \phi$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ (так как $$AO \perp OB$$) имеем:

• $$AO$$ — высота пирамиды
• $$OB$$ — радиус описанной окружности основания
• $$AB$$ — боковое ребро

Тангенс угла $$\phi$$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$$ \mathrm{tg}(\phi) = \frac{AO}{OB} $$

где $$AO$$ — высота пирамиды, а $$OB$$ — радиус окружности, описанной около правильного $$n$$-угольника (основания пирамиды).

Для нахождения $$OB$$ в правильном $$n$$-угольнике со стороной $$a$$, радиус описанной окружности $$R$$ равен:

$$ OB = R = \frac{a}{2  \sin(\frac{\pi}{n})} $$

Таким образом, тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром равен:

$$ \mathrm{tg}(\phi) = \frac{h}{\frac{a}{2  \sin(\frac{\pi}{n})}} = \frac{h  2  \sin(\frac{\pi}{n})}{a} $$

где $$h$$ — высота пирамиды, $$a$$ — сторона основания.

Ответ: $$\mathrm{tg}(\phi) = \frac{h}{OB}$$, где $$h$$ — высота пирамиды, а $$OB$$ — радиус описанной окружности основания.