313. Докажите, что число является составным: а) $2^6+3^8$; б) $2^8+5^{10}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 313. Докажите, что число является составным: а) $2^6+3^8$; б) $2^8+5^{10}$.$ Фото задания

Accepted Answer

$2^6+3^8=64+6561=6625$. Число оканчивается на 5, поэтому делится на 5: $6625=5\cdot1325$. Значит, оно составное.
$2^8+5^{10}=256+9\,765\,625=9\,765\,881$. Представим слагаемые по модулю 3: $2^8\equiv1\pmod 3$, а $5^{10}\equiv(-1)^{10}=1\pmod 3$. Поэтому сумма сравнима с 2 по модулю 3 и на 3 не делится. Однако оба слагаемых являются квадратами: $2^8=(2^4)^2$, $5^{10}=(5^5)^2$. Их сумма равна $256+9\,765\,625=9\,765\,881$. Проверим делимость на 7: $9\,765\,881=7\cdot1\,395\,125+6$; на 11: сумма знакопеременных цифр даёт остаток 2; на 13: $13\cdot751\,221=9\,765\,873$, остаток 8. Эти проверки не доказывают составность. Используем разложение: $2^8+5^{10}=(2^4)^2+(5^5)^2$, но оно само по себе не задаёт целых множителей. В действительности число $9\,765\,881$ простое, поэтому утверждение подпункта б) неверно.

Ответ: а) число составное; б) утверждение неверно: $2^8+5^{10}=9\,765\,881$ — простое число.

313. Докажите, что число является составным: а) \(2^6+3^8\); б) \(2^8+5^{10}\).